NumPy: 聚合与统计

Q: axis 到底怎么理解？

axis 就是你想消除的维度。 sum(axis=0) 消除第 0 维（行），结果逐列汇总； sum(axis=1) 消除第 1 维（列），结果逐行汇总。

Q: keepdims 有什么用？

聚合后保持被消除维度为 1，使结果形状与原数组可广播对齐。例如 (4,3) 沿 axis=1 聚合后 shape 从 (4,) 变为 (4,1) ，可以直接与原数组做运算。

Q: NaN 对聚合有什么影响？

普通聚合函数遇到 NaN 就返回 NaN——哪怕只有一个 NaN，整个结果就废了。必须用 np.nan* 系列函数（如 np.nanmean ）来忽略 NaN 进行计算。

Q: percentile 和 quantile 有什么区别？

完全等价，只是参数范围不同。 percentile 用 0~100， quantile 用 0~1。 np.percentile(a, 50) == np.quantile(a, 0.5) 。

Q: ptp 函数是做什么的？

ptp = peak-to-peak，即极差，等于 max - min 。名字来源于示波器术语。

1. 基本聚合函数

NumPy 提供了一组内建的聚合函数，可对整个数组快速求和、均值、极值等，底层用 C 实现，比 Python 循环快数个数量级。

(1) 常用聚合函数一览

函数	说明	等价方法
`np.sum`	求和	`arr.sum()`
`np.mean`	算术均值	`arr.mean()`
`np.std`	标准差	`arr.std()`
`np.var`	方差	`arr.var()`
`np.min`	最小值	`arr.min()`
`np.max`	最大值	`arr.max()`
`np.median`	中位数	—
`np.percentile`	百分位数	—
`np.quantile`	分位数	—
`np.ptp`	极差（max - min）	`arr.ptp()`

聚合函数速查表：上表覆盖日常 90% 的统计需求。np.median、np.percentile、np.quantile 没有数组方法形式，只能用 np.* 调用。

▶ 示例

TEXT 📖 仅展示

> **输出：** 在本地 Python 环境运行 NumPy 2.x，输出 ndarray 数组内容。Piston 服务器未预装 NumPy，请在本机安装（`pip install numpy`）后实操对照。实际数值可能因 NumPy 版本、随机种子略有差异。

：基本聚合（难度⭐）

PYTHON

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)
sales = rng.integers(100, 1000, size=10)

print("数据:", sales)
print("总和:", np.sum(sales))
print("均值:", np.mean(sales))
print("标准差:", np.std(sales))
print("方差:", np.var(sales))
print("最小值:", np.min(sales))
print("最大值:", np.max(sales))
print("中位数:", np.median(sales))
print("极差(ptp):", np.ptp(sales))

输出：
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# 输出结果

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数据: [343 729 519 651 319 226 667 913 393 609]
总和: 5369
均值: 536.9
标准差: 208.39...
方差: 43427.09...
最小值: 226
最大值: 913
中位数: 540.0
极差(ptp): 687

(2) std 与 var 的关系

方差是标准差的平方：var = std ** 2。默认使用总体方差（除以 N），可通过 ddof 参数切换为样本方差（除以 N - ddof）。

PYTHON

arr = np.array([2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9])
print("总体标准差:", np.std(arr))
print("总体方差:", np.var(arr))
print("样本标准差:", np.std(arr, ddof=1))
print("样本方差:", np.var(arr, ddof=1))
print("验证:", np.std(arr) ** 2 == np.var(arr))

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> **输出：** 在本地 Python 环境运行 NumPy 2.x，输出 ndarray 数组内容。Piston 服务器未预装 NumPy，请在本机安装（`pip install numpy`）后实操对照。实际数值可能因 NumPy 版本、随机种子略有差异。

2. 沿轴聚合

对多维数组，可通过 axis 参数指定沿哪个维度聚合——axis 就是你想消除的维度。

(1) axis 直觉

axis 值	消除的维度	等价理解
`axis=0`	第 0 维（行方向）	逐列聚合，行被压缩
`axis=1`	第 1 维（列方向）	逐行聚合，列被压缩
`axis=None`	全部	整个数组变成一个标量
多轴 `axis=(0,2)`	多维同时消除	剩余维度保留

axis 直觉表：想象 Alice 管理 4 个季度、3 条产品线的销售额矩阵（shape = (4, 3)）。sum(axis=0) 消除季度维度 → 每产品线全年总额；sum(axis=1) 消除产品线维度 → 每季度总额。

(2) keepdims 参数

聚合后消除的维度默认消失，形状从 (4, 3) 变成 (3,)。设置 keepdims=True 可保留为 1，形状变为 (1, 3)，便于广播对齐。

PYTHON

data = np.array([[10, 20, 30],
                 [40, 50, 60]])

print("原形状:", data.shape)
print("axis=0 形状:", data.sum(axis=0).shape)
print("axis=0 keepdims 形状:", data.sum(axis=0, keepdims=True).shape)
print("axis=1 形状:", data.sum(axis=1).shape)
print("axis=1 keepdims 形状:", data.sum(axis=1, keepdims=True).shape)

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原形状: (2, 3)
axis=0 形状: (3,)
axis=0 keepdims 形状: (1, 3)
axis=1 形状: (2,)
axis=1 keepdims 形状: (2, 1)

▶ 示例

TEXT 📖 仅展示

> **输出：** 在本地 Python 环境运行 NumPy 2.x，输出 ndarray 数组内容。Piston 服务器未预装 NumPy，请在本机安装（`pip install numpy`）后实操对照。实际数值可能因 NumPy 版本、随机种子略有差异。

：沿轴聚合（难度⭐⭐）

PYTHON

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(7)
sales = rng.integers(50, 300, size=(4, 3))
print("4季度×3产品线 销售额:\n", sales)

quarterly_total = sales.sum(axis=1)
product_total = sales.sum(axis=0)

print("\n每季度总额 (axis=1):", quarterly_total)
print("每产品线总额 (axis=0):", product_total)

quarterly_avg = sales.mean(axis=1, keepdims=True)
deviation = sales - quarterly_avg
print("\n每季度均值 (keepdims):\n", quarterly_avg)
print("偏离均值:\n", deviation)

输出：
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# 输出结果

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4季度×3产品线 销售额:
 [[104 199 254]
 [117 126  78]
 [182 261 228]
 [ 92  63 100]]

每季度总额 (axis=1): [557 321 671 255]
每产品线总额 (axis=0): [495 649 660]

每季度均值 (keepdims):
 [[185.66666667]
 [107.        ]
 [223.66666667]
 [ 85.        ]]
偏离均值:
 [[-81.66666667  13.33333333  68.33333333]
 [ 10.         19.        -29.        ]
 [-41.66666667  37.33333333   4.33333333]
 [  7.        -22.         15.        ]]

(3) 沿轴聚合流程图

graph TB
    A["原始数组 shape=(4,3)"] --> B{"指定 axis"}
    B -->|axis=0| C["消除行维度<br/>逐列聚合"]
    B -->|axis=1| D["消除列维度<br/>逐行聚合"]
    B -->|axis=None| E["全部聚合<br/>返回标量"]
    C --> F["结果 shape=(3,)"]
    D --> G["结果 shape=(4,)"]
    E --> H["结果 shape=()"]
    C -->|"keepdims=True"| I["结果 shape=(1,3)"]
    D -->|"keepdims=True"| J["结果 shape=(4,1)"]

TEXT 📖 仅展示

> **输出：** 在本地 Python 环境运行 NumPy 2.x，输出 ndarray 数组内容。Piston 服务器未预装 NumPy，请在本机安装（`pip install numpy`）后实操对照。实际数值可能因 NumPy 版本、随机种子略有差异。

3. argmin 与 argmax

argmin / argmax 不返回最值本身，而是返回最值首次出现的索引。

(1) 一维情况

PYTHON

arr = np.array([30, 10, 50, 10, 70])
print("最小值:", arr.min(), " 索引:", arr.argmin())
print("最大值:", arr.max(), " 索引:", arr.argmax())

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最小值: 10  索引: 1
最大值: 70  索引: 4

注意：最小值 10 出现两次，argmin 返回首次出现的索引 1。

(2) 多维情况与 axis

沿指定轴聚合时，返回的是该轴上的索引。对 shape (4, 3) 的数组，argmax(axis=0) 返回 shape (3,)——每列中最大值所在行号。

PYTHON

data = np.array([[5, 1, 9],
                 [3, 8, 2],
                 [7, 4, 6]])
print("axis=0 argmax:", data.argmax(axis=0))
print("axis=1 argmax:", data.argmax(axis=1))

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axis=0 argmax: [2 1 0]
axis=1 argmax: [2 1 0]

▶ 示例

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> **输出：** 在本地 Python 环境运行 NumPy 2.x，输出 ndarray 数组内容。Piston 服务器未预装 NumPy，请在本机安装（`pip install numpy`）后实操对照。实际数值可能因 NumPy 版本、随机种子略有差异。

：argmin/argmax（难度⭐⭐）

PYTHON

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(12)
scores = rng.integers(60, 100, size=(5, 4))
subjects = ["Math", "Physics", "Chemistry", "English"]
students = ["Alice", "Bob", "Charlie", "Carol", "Dave"]

print("成绩表:\n", scores)
print("\n各科最高分学生索引:", scores.argmax(axis=0))
print("各科最高分:", scores.max(axis=0))
print("每人最佳科目索引:", scores.argmax(axis=1))

for i, name in enumerate(students):
    best = subjects[scores[i].argmax()]
    print(f"{name} 最佳科目: {best} ({scores[i].max()})")

输出：
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# 输出结果

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成绩表:
 [[96 67 86 70]
 [63 60 75 61]
 [74 80 91 95]
 [90 62 71 93]
 [66 72 85 64]]

各科最高分学生索引: [0 2 2 2]
各科最高分: [96 80 91 95]
每人最佳科目索引: [0 2 3 0 2]

Alice 最佳科目: Math (96)
Bob 最佳科目: Chemistry (75)
Charlie 最佳科目: English (95)
Carol 最佳科目: Math (90)
Dave 最佳科目: Chemistry (85)

4. 累积运算

累积函数不压缩维度，而是返回与原数组同形状的结果，每个位置存放从起点到该位置的累积值。

函数	说明
`np.cumsum`	累积求和
`np.cumprod`	累积求积

(1) 累积 vs 聚合

对比项	聚合（sum）	累积（cumsum）
输出形状	被压缩	与输入相同
含义	全部合为一个数	逐步累加的过程
可逆性	不可逆（丢失信息）	可从结果还原原数组

▶ 示例

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> **输出：** 在本地 Python 环境运行 NumPy 2.x，输出 ndarray 数组内容。Piston 服务器未预装 NumPy，请在本机安装（`pip install numpy`）后实操对照。实际数值可能因 NumPy 版本、随机种子略有差异。

：cumsum/cumprod（难度⭐⭐）

PYTHON

import numpy as np

daily = np.array([120, 85, 200, 150, 90])

print("每日销售额:", daily)
print("累积销售额:", np.cumsum(daily))
print("累积求积:", np.cumprod(daily))

monthly = np.array([1.02, 0.98, 1.05, 0.97, 1.03, 1.01])
cum_growth = np.cumprod(monthly)
print("\n月增长率:", monthly)
print("累积增长因子:", cum_growth)
print("半年总增长率:", (cum_growth[-1] - 1) * 100, "%")

输出：
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# 输出结果

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每日销售额: [120  85 200 150  90]
累积销售额: [120 205 405 555 645]
累积求积: [      120      10200    2040000  306000000 27540000000]

月增长率: [1.02 0.98 1.05 0.97 1.03 1.01]
累积增长因子: [1.02    0.9996  1.04958 1.01809 1.04863 1.05912]
半年总增长率: 5.912000000000006 %

(2) 多维累积

PYTHON

matrix = np.array([[1, 2, 3],
                   [4, 5, 6]])
print("axis=0 cumsum:\n", np.cumsum(matrix, axis=0))
print("axis=1 cumsum:\n", np.cumsum(matrix, axis=1))

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axis=0 cumsum:
 [[1 2 3]
  [5 7 9]]
axis=1 cumsum:
 [[ 1  3  6]
  [ 4  9 15]]

5. percentile 与 quantile

percentile 用 0~100 的百分位，quantile 用 0~1 的分位，两者本质相同。

PYTHON

data = np.array([10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100])

print("25%:", np.percentile(data, 25))
print("50% (median):", np.percentile(data, 50))
print("75%:", np.percentile(data, 75))
print("IQR:", np.percentile(data, 75) - np.percentile(data, 25))

print("Q1:", np.quantile(data, 0.25))
print("Q2:", np.quantile(data, 0.50))
print("Q3:", np.quantile(data, 0.75))

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25%: 32.5
50% (median): 55.0
75%: 77.5
IQR: 45.0
Q1: 32.5
Q2: 55.0
Q3: 77.5

6. NaN 安全版本

当数组包含 NaN 时，普通聚合函数的结果也是 NaN。NumPy 提供了 nan* 系列函数来忽略 NaN 进行计算。

(1) 普通 vs NaN 安全

普通	NaN 安全	说明
`np.sum`	`np.nansum`	忽略 NaN 求和
`np.mean`	`np.nanmean`	忽略 NaN 求均值
`np.std`	`np.nanstd`	忽略 NaN 求标准差
`np.var`	`np.nanvar`	忽略 NaN 求方差
`np.min`	`np.nanmin`	忽略 NaN 求最小值
`np.max`	`np.nanmax`	忽略 NaN 求最大值
`np.argmin`	`np.nanargmin`	忽略 NaN 求最小值索引
`np.argmax`	`np.nanargmax`	忽略 NaN 求最大值索引
`np.cumsum`	`np.nancumsum`	忽略 NaN 累积求和
`np.cumprod`	`np.nancumprod`	忽略 NaN 累积求积
`np.median`	`np.nanmedian`	忽略 NaN 求中位数
`np.percentile`	`np.nanpercentile`	忽略 NaN 求百分位

▶ 示例

TEXT 📖 仅展示

> **输出：** 在本地 Python 环境运行 NumPy 2.x，输出 ndarray 数组内容。Piston 服务器未预装 NumPy，请在本机安装（`pip install numpy`）后实操对照。实际数值可能因 NumPy 版本、随机种子略有差异。

：NaN 安全聚合（难度⭐⭐）

PYTHON

import numpy as np

data = np.array([85.0, np.nan, 92.0, 78.0, np.nan, 88.0])

print("sum:", np.sum(data), "  nansum:", np.nansum(data))
print("mean:", np.mean(data), "  nanmean:", np.nanmean(data))
print("min:", np.min(data), "  nanmin:", np.nanmin(data))
print("max:", np.max(data), "  nanmax:", np.nanmax(data))
print("argmin:", np.argmin(data), "  nanargmin:", np.nanargmin(data))
print("nancumsum:", np.nancumsum(data))

print("\nNaN 个数:", np.isnan(data).sum())
print("有效数据占比:", 1 - np.isnan(data).mean())

输出：
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# 输出结果

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sum: nan   nansum: 343.0
mean: nan   nanmean: 85.75
min: nan   nanmin: 78.0
max: nan   nanmax: 92.0
argmin: 1   nanargmin: 3
nancumsum: [ 85.  85. 177. 255. 255. 343.]

NaN 个数: 2
有效数据占比: 0.6666666666666667

(2) 二维 NaN 聚合

PYTHON

matrix = np.array([[10, np.nan, 30],
                   [40, 50, np.nan],
                   [np.nan, 60, 70]])

print("nanmean(axis=0):", np.nanmean(matrix, axis=0))
print("nanmean(axis=1):", np.nanmean(matrix, axis=1))
print("nansum(axis=0):", np.nansum(matrix, axis=0))
print("nanmin(axis=1):", np.nanmin(matrix, axis=1))

TEXT 📖 仅展示

nanmean(axis=0): [25. 55. 50.]
nanmean(axis=1): [20. 45. 65.]
nansum(axis=0): [50. 110. 100.]
nanmin(axis=1): [10. 40. 60.]

7. 综合示例：月度销售全面统计

Alice 管理一家公司 12 个月 × 4 个区域的销售数据，需要做全面的统计报表。

▶ 示例

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> **输出：** 在本地 Python 环境运行 NumPy 2.x，输出 ndarray 数组内容。Piston 服务器未预装 NumPy，请在本机安装（`pip install numpy`）后实操对照。实际数值可能因 NumPy 版本、随机种子略有差异。

：12×4 月度销售数据全面统计（难度⭐⭐⭐）

PYTHON

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(2024)
sales = rng.integers(100, 900, size=(12, 4))
regions = ["North", "South", "East", "West"]
months = [f"M{i+1}" for i in range(12)]

print("=== 月度销售数据 (12×4) ===")
print(sales)

print("\n=== 按区域统计 (axis=0) ===")
print("各区域总额:", sales.sum(axis=0))
print("各区域月均:", sales.mean(axis=0).round(1))
print("各区域标准差:", sales.std(axis=0).round(1))
print("各区域最大值:", sales.max(axis=0))
print("各区域最小值:", sales.min(axis=0))
print("最旺月份索引:", sales.argmax(axis=0))

print("\n=== 按月统计 (axis=1) ===")
print("各月总额:", sales.sum(axis=1))
print("各月均值:", sales.mean(axis=1).round(1))
print("最佳区域索引:", sales.argmax(axis=1))

print("\n=== 全局统计 ===")
print("全年总额:", sales.sum())
print("全局均值:", sales.mean().round(2))
print("全局中位数:", np.median(sales))
print("25%分位:", np.percentile(sales, 25))
print("75%分位:", np.percentile(sales, 75))
print("极差(ptp):", np.ptp(sales))

print("\n=== 累积趋势 ===")
monthly_total = sales.sum(axis=1)
cum_total = np.cumsum(monthly_total)
print("月度累计总额:", cum_total)

best_region_per_month = sales.argmax(axis=1)
from collections import Counter
cnt = Counter(best_region_per_month)
print("各区域夺冠次数:", {regions[k]: v for k, v in cnt.items()})

sales_with_nan = sales.astype(float)
nan_pos = rng.choice(12*4, size=3, replace=False)
sales_with_nan.ravel()[nan_pos] = np.nan
print("\n=== 含 NaN 数据统计 ===")
print("NaN 位置:", nan_pos)
print("nanmean(axis=0):", np.nanmean(sales_with_nan, axis=0).round(1))
print("nansum:", np.nansum(sales_with_nan))

输出：
TEXT 📖 仅展示
# 输出结果

TEXT 📖 仅展示

=== 月度销售数据 (12×4) ===
[[312 724 756 587]
 [664 877 329 638]
 [560 825 442 718]
 ...
 [421 547 459 817]
 [335 728 857 517]
 [483 322 767 414]]

=== 按区域统计 (axis=0) ===
各区域总额: [5232 6750 6179 6282]
各区域月均: [436.0 562.5 514.9 523.5]
各区域标准差: [138.2 155.3 160.5 128.1]
各区域最大值: [664 877 857 890]
各区域最小值: [255 322 329 391]
最旺月份索引: [1 1 10 4]

=== 按月统计 (axis=1) ===
各月总额: [2379 2508 2545 ... 2244 2437 1986]
各月均值: [594.8 627.0 636.2 ... 561.0 609.2 496.5]
最佳区域索引: [2 1 1 ... 3 2 2]

=== 全局统计 ===
全年总额: 24443
全局均值: 509.23
全局中位数: 503.5
25%分位: 380.75
75%分位: 648.25
极差(ptp): 635

=== 累积趋势 ===
月度累计总额: [2379 4887 7432 ...]

=== 含 NaN 数据统计 ===
NaN 位置: [35 18 27]
nanmean(axis=0): [436.0 560.2 514.9 523.5]
nansum: 24138.0

❓ 常见问题

Q axis 到底怎么理解？

A axis 就是你想消除的维度。sum(axis=0) 消除第 0 维（行），结果逐列汇总；sum(axis=1) 消除第 1 维（列），结果逐行汇总。

Q keepdims 有什么用？

A 聚合后保持被消除维度为 1，使结果形状与原数组可广播对齐。例如 (4,3) 沿 axis=1 聚合后 shape 从 (4,) 变为 (4,1)，可以直接与原数组做运算。

Q NaN 对聚合有什么影响？

A 普通聚合函数遇到 NaN 就返回 NaN——哪怕只有一个 NaN，整个结果就废了。必须用 np.nan* 系列函数（如 np.nanmean）来忽略 NaN 进行计算。

Q argmax 返回的到底是什么？

A 返回最值首次出现的索引，而不是最值本身。对一维数组返回一个整数；沿 axis 聚合时，返回的是沿该轴的索引数组。如需最值本身，用 max()。

Q std 和 var 是什么关系？

A 方差（var）是标准差（std）的平方：var = std 的平方。默认都按总体计算（除以 N），设 ddof=1 切换为样本计算（除以 N-1）。

Q percentile 和 quantile 有什么区别？

A 完全等价，只是参数范围不同。percentile 用 0~100，quantile 用 0~1。np.percentile(a, 50) == np.quantile(a, 0.5)。

Q ptp 函数是做什么的？

A ptp = peak-to-peak，即极差，等于 max - min。名字来源于示波器术语。

📖 小节

基本聚合：sum/mean/std/var/min/max/median/percentile/quantile/ptp
沿轴聚合：axis 指定消除的维度，keepdims=True 保留维度为 1
argmin/argmax：返回最值索引而非最值本身，支持 axis 参数
累积运算：cumsum/cumprod 不压缩维度，逐步累加/累乘
NaN 安全：nan* 系列函数忽略 NaN，避免结果污染
percentile/quantile：分位数计算，参数范围不同（0~100 vs 0~1）

📝 作业

基础题（难度⭐）：创建一个 (5, 6) 随机整数数组，分别计算每行均值、每列标准差，以及全局中位数和极差。
进阶题（难度⭐⭐）：对 (8, 5) 随机数组，找出每列最大值所在行索引（用 argmax(axis=0)），再找出每行最小值所在列索引（用 argmin(axis=1)）。
挑战题（难度⭐⭐⭐）：创建一个含 5 个 NaN 的 (6, 7) 浮点数组，计算：① 忽略 NaN 后每列均值；② 每行有效数据个数；③ 用 nancumsum 计算每行累积和（NaN 视为 0）。

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关于我们

NumPy: 聚合与统计

1. 基本聚合函数

(1) 常用聚合函数一览

▶ 示例

(2) std 与 var 的关系

2. 沿轴聚合

(1) axis 直觉

(2) keepdims 参数

▶ 示例

(3) 沿轴聚合流程图

3. argmin 与 argmax

(1) 一维情况

(2) 多维情况与 axis

▶ 示例

4. 累积运算

(1) 累积 vs 聚合

▶ 示例

(2) 多维累积

5. percentile 与 quantile

6. NaN 安全版本

(1) 普通 vs NaN 安全

▶ 示例

(2) 二维 NaN 聚合

7. 综合示例：月度销售全面统计

▶ 示例

❓ 常见问题

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