R: R 矩阵与数组：二维与多维数据结构

Q: byrow = TRUE 和 FALSE 区别？

matrix(1:6, nrow=2, byrow=FALSE) （默认）按列填充： 1 3 5 / 2 4 6 ； byrow=TRUE 按行填充： 1 2 3 / 4 5 6 。数据科学场景几乎都按行填（每个样本一行）。

Q: apply() 和 for 循环怎么选？

能用 apply() 就用 apply() ——R 循环慢 10-100 倍。 apply(m, 1, fun) 替代"按行循环"， apply(m, 2, fun) 替代"按列循环"。

Q: tapply() 在实际项目中怎么用？

tapply(x, group, fun) 快速做"分组统计"——按性别、地区、月份等分组。但下一阶段用 dplyr::group_by() \| summarise() 更优雅，tapply 是基础。

最后更新：2026-08-26

上一课我们学了"一维"向量，这一课进入"二维"和"多维"——矩阵 (matrix) 和数组 (array)。矩阵是数据分析的基础（Excel 表格、图像像素、神经网络权重都是矩阵），这一课要把矩阵吃透。

矩阵的"灵魂"是 apply() 函数族——它让我们不用写循环就能按行/按列/按维度运算。这是 R 比 Python 简洁的地方。

1. 你将学到

matrix() 创建矩阵（按行/按列填充）
矩阵的属性（dim、nrow、ncol、rownames、colnames）
rbind/cbind 合并矩阵
apply 系列函数（apply/lapply/sapply/tapply/mapply）
数组 array 的多维扩展
矩阵运算（转置 %*% 逆 solve()）
实战：成绩单统计

2. 一个成绩单的故事

(1) 痛点：多科目成绩统计

小赵是教务员，5 个学生 3 门课的成绩单如下：

TEXT 📖 仅展示

       数学  语文  英语
Alice     85    78    92
Bob     72    88    80
Charlie     90    85    87
赵六     65    70    75
钱七     95    92    88

要算：① 每个学生的总分 ② 每科平均分 ③ 找出数学最高分的学生

如果用 Excel 公式要写半天；用 Python 写循环嵌套——

(2) R 的解法

# 5x3 矩阵
scores <- matrix(c(85, 78, 92,
                   72, 88, 80,
                   90, 85, 87,
                   65, 70, 75,
                   95, 92, 88),
                 nrow = 5, byrow = TRUE)
colnames(scores) <- c("数学", "语文", "英语")
rownames(scores) <- c("Alice", "Bob", "Charlie", "赵六", "钱七")

# 1. 每个学生总分（一行求和）
row_sums <- apply(scores, 1, sum)

# 2. 每科平均（一列求平均）
col_means <- apply(scores, 2, mean)

# 3. 找出数学最高分
top_math <- which.max(scores[, "数学"])

5 行代码解决 3 个任务。这就是矩阵 + apply 的威力。

3. 矩阵的本质：二维向量

(1) 向量 → 矩阵的转换

graph LR
    A["一维向量 c 1,2,3,4,5,6"] --> B["reshape 成 2x3 矩阵"]
    B --> C["1 2 3 / 4 5 6"]
    B --> D["1 4 / 2 5 / 3 6"]
    
    style A fill:#cce5ff
    style B fill:#fff3cd

# 一维向量
v <- 1:6
v
# [1] 1 2 3 4 5 6

# 转成 2 行 3 列矩阵
m <- matrix(v, nrow = 2, ncol = 3)
m
#      [,1] [,2] [,3]
# [1,]    1    3    5
# [2,]    2    4    6

(2) 矩阵的 4 个关键属性

属性	含义	示例
`dim(m)`	维度向量	`dim(m)` → `c(2, 3)`
`nrow(m)`	行数	`nrow(m)` → `2`
`ncol(m)`	列数	`ncol(m)` → `3`
`length(m)`	总元素数	`length(m)` → `6`

m <- matrix(1:6, nrow = 2)

dim(m)        # [1] 2 3
nrow(m)       # [1] 2
ncol(m)       # [1] 3
length(m)     # [1] 6  ← 总元素数

4. matrix()：创建矩阵

(1) 基本语法

matrix(data, nrow = 1, ncol = 1, byrow = FALSE, dimnames = NULL)

(2) 4 种创建方式

# 1. 直接给数据 + 行列数
m1 <- matrix(1:6, nrow = 2)
#      [,1] [,2] [,3]
# [1,]    1    3    5   ← 默认按列填充
# [2,]    2    4    6

# 2. byrow = TRUE（按行填充）
m2 <- matrix(1:6, nrow = 2, byrow = TRUE)
#      [,1] [,2] [,3]
# [1,]    1    2    3
# [2,]    4    5    6

# 3. 加行列名
m3 <- matrix(1:6, nrow = 2, byrow = TRUE,
            dimnames = list(c("行1", "行2"), c("列A", "列B", "列C")))
#     列A 列B 列C
# 行1   1   2   3
# 行2   4   5   6

# 4. 只指定 nrow，ncol 自动推断
m4 <- matrix(1:6, nrow = 3)  # 3 行 2 列
#      [,1] [,2]
# [1,]    1    4
# [2,]    2    5
# [3,]    3    6

⚠️ 注意：byrow = FALSE 是默认（按列填充）。多数场景下我们想要按行填充（一行是一个学生/一条记录），要显式写 byrow = TRUE。

(3) 加行列名（更易读）

m <- matrix(1:6, nrow = 2, byrow = TRUE)
rownames(m) <- c("Alice", "Bob")
colnames(m) <- c("数学", "语文", "英语")
m
#     数学 语文 英语
# Alice   1    2    3
# Bob   4    5    6

5. 访问矩阵元素

(1) 3 种访问方式

方式	语法	用途
`[i, j]`	第 i 行第 j 列	单个元素
`[i, ]`	第 i 行	整行
`[, j]`	第 j 列	整列
`[i, "列名"]`	第 i 行的某列	按名字

m <- matrix(1:9, nrow = 3, byrow = TRUE,
            dimnames = list(c("Alice", "Bob", "Charlie"),
                          c("数学", "语文", "英语")))
m
#     数学 语文 英语
# Alice   1    2    3
# Bob   4    5    6
# Charlie   7    8    9

# 单个元素
m[2, 3]            # [1] 6
m["Bob", "英语"]  # [1] 6

# 整行
m[1, ]             # 数学 1 语文 2 英语 3
m["Alice", ]        # 同上

# 整列
m[, 1]             # Alice 1 Bob 4 Charlie 7
m[, "数学"]        # 同上

(2) 逻辑索引

# 找出数学成绩 > 5 的学生
m[m[, "数学"] > 5, ]
#     数学 语文 英语
# Bob   4 ...   ← 不会被选中
# Charlie   7    8    9

6. rbind/cbind：合并矩阵

graph TB
    A["矩阵 A 3x2"] --> C["rbind 按行拼接"]
    B["矩阵 B 2x2"] --> C
    C --> D["新矩阵 5x2"]
    
    E["矩阵 A 3x2"] --> F["cbind 按列拼接"]
    G["矩阵 B 3x2"] --> F
    F --> H["新矩阵 3x4"]
    
    style A fill:#cce5ff
    style B fill:#cce5ff
    style E fill:#d4edda
    style G fill:#d4edda

a <- matrix(1:6, nrow = 3, byrow = TRUE)
b <- matrix(7:12, nrow = 3, byrow = TRUE)

# 按行拼接（行数相加）
rbind(a, b)
#      [,1] [,2]
# [1,]    1    2
# [2,]    3    4
# [3,]    5    6
# [4,]    7    8
# [5,]    9   10
# [6,]   11   12

# 按列拼接（列数相加）
cbind(a, b)
#      [,1] [,2] [,3] [,4]
# [1,]    1    2    7    8
# [2,]    3    4    9   10
# [3,]    5    6   11   12

⚠️ 注意：rbind(a, b) 要求 ncol(a) == ncol(b)；cbind(a, b) 要求 nrow(a) == nrow(b)，否则报错。

7. apply 系列函数（灵魂）

(1) 为什么需要 apply？

R 的循环很慢，apply 让我们不写循环就能按行/按列运算：

m <- matrix(1:9, nrow = 3)

# 求每行和（不用循环）
apply(m, 1, sum)
# [1] 12 15 18

# 求每列和
apply(m, 2, sum)
# [1] 12 15 18

(2) apply() 核心

apply(X, MARGIN, FUN)

参数	含义	取值
`X`	矩阵/数组	matrix / array
`MARGIN`	维度	1=行, 2=列, c(1,2)=行列
`FUN`	要应用的函数	`sum` `mean` `max` `function(x) ...`

# 1=行（按行处理），2=列（按列处理）
apply(m, 1, mean)   # 每行平均
apply(m, 2, max)    # 每列最大

# 自定义函数
apply(m, 1, function(x) max(x) - min(x))  # 每行极差

(3) apply 家族 5 个函数

函数	输入	输出	典型用途
`apply()`	矩阵/数组	向量/矩阵	按行/列运算
`lapply()`	列表/向量	列表	列表处理
`sapply()`	列表/向量	向量/矩阵	简化 lapply
`tapply()`	向量+分组	数组	分组统计
`mapply()`	多向量	列表/向量	多参数函数

(4) lapply() vs sapply()

# lapply 返回列表
numbers <- list(a = 1:3, b = 4:6, c = 7:9)
result_l <- lapply(numbers, sum)
# $a 6
# $b 15
# $c 24

# sapply 返回向量（更常用）
result_s <- sapply(numbers, sum)
#  a  b  c
#  6 15 24

💡 提示：优先用 sapply()——返回向量更方便。lapply() 在函数式编程管道中更常用。

(5) tapply() 分组统计

# 5 个学生 3 门课成绩，按"性别"分组
scores <- c(85, 78, 92, 72, 88, 80, 90, 85, 87, 65, 70, 75, 95, 92, 88)
gender <- c("男", "女", "男", "男", "女", "女", "男", "男", "女", "男", "女", "男", "女", "男", "女")

# 按性别分组求平均
tapply(scores, gender, mean)
#   女   男 
# 84.6 81.5

💡 提示：tapply() 在做"分组统计"时极其常用——但下一阶段用 dplyr::group_by() | summarise() 会更优雅。

(6) mapply() 多参数函数

# 对两个向量对应元素求和
mapply(function(a, b) a + b, 1:3, 10:12)
# [1] 11 13 15

8. 数组 array：多维扩展

# 2x3x4 的三维数组
arr <- array(1:24, dim = c(2, 3, 4))

# 第 1 个 2x3 矩阵
arr[, , 1]
#      [,1] [,2] [,3]
# [1,]    1    3    5
# [2,]    2    4    6

# apply 可以对多维运算
apply(arr, c(1, 2), mean)  # 对第 3 维求平均

💡 提示：实际开发中数组用得少——data.frame（下一阶段）和 array（图像/物理）才是多维数据的主流。

9. 矩阵运算（线性代数）

运算	语法	说明
转置	`t(m)`	行变列
矩阵乘法	`m1 %*% m2`	线性代数乘法
元素乘法	`m1 * m2`	对应元素乘
求逆	`solve(m)`	逆矩阵
求和（行/列）	`rowSums(m)` / `colSums(m)`	快速求和

m <- matrix(1:4, nrow = 2)
#      [,1] [,2]
# [1,]    1    3
# [2,]    2    4

# 转置
t(m)
#      [,1] [,2]
# [1,]    1    2
# [2,]    3    4

# 矩阵乘法（用 m %*% m）
m %*% m
#      [,1] [,2]
# [1,]    7   15
# [2,]   10   22

# 求逆
solve(m)
#      [,1] [,2]
# [1,]   -2  1.5
# [2,]    1 -0.5

10. 完整示例：成绩单综合分析

下面是一个完整工作流示例，把本课所有矩阵 + apply 串起来。

▶ 示例：班级成绩综合分析

R 📖 仅展示

# ============================================
# 班级成绩综合分析
# 功能：5 学生 3 课程的成绩矩阵完整分析
# ============================================

# 1. 创建成绩矩阵（按行填充：每个学生一行）
scores <- matrix(c(
  85, 78, 92,   # Alice
  72, 88, 80,   # Bob
  90, 85, 87,   # Charlie
  65, 70, 75,   # 赵六
  95, 92, 88    # 钱七
), nrow = 5, byrow = TRUE)

# 加行列名
rownames(scores) <- c("Alice", "Bob", "Charlie", "赵六", "钱七")
colnames(scores) <- c("数学", "语文", "英语")

cat("=== 成绩矩阵 ===\n")
print(scores)

# 2. 每个学生总分（按行求和）
cat("\n=== 学生总分 ===\n")
row_totals <- apply(scores, 1, sum)
print(row_totals)

# 3. 每科平均/最高/最低（按列统计）
cat("\n=== 各科统计 ===\n")
col_stats <- apply(scores, 2, function(x) {
  c(mean = round(mean(x), 2),
    max = max(x),
    min = min(x),
    sd = round(sd(x), 2))
})
print(col_stats)

# 4. 每个学生平均分（按行求平均）
cat("\n=== 学生平均分 ===\n")
row_means <- apply(scores, 1, mean)
print(round(row_means, 2))

# 5. 找出数学最高分学生
top_math <- which.max(scores[, "数学"])
cat("\n数学最高分：", rownames(scores)[top_math], "（", max(scores[, "数学"]), "分）\n")

# 6. 找出总分最高学生
top_total <- which.max(row_totals)
cat("总分最高：", rownames(scores)[top_total], "（", max(row_totals), "分）\n")

# 7. 找出单科 < 70 的学生（用逻辑索引）
fail <- scores < 70
cat("\n不及格科目（< 70）：\n")
print(scores)
cat("\n是否不及格（TRUE = 不及格）：\n")
print(fail)

# 8. 综合排名
cat("\n=== 综合排名（按总分降序）===\n")
ranking <- order(row_totals, decreasing = TRUE)
result <- data.frame(
  排名 = 1:5,
  姓名 = rownames(scores)[ranking],
  总分 = row_totals[ranking],
  平均 = round(row_totals[ranking] / 3, 2)
)
print(result)

逻辑代码 43 行（超过 40 行限制，仅展示）

预期输出（节选）：

TEXT 📖 仅展示

=== 成绩矩阵 ===
    数学 语文 英语
Alice   85   78   92
Bob   72   88   80
Charlie   90   85   87
赵六   65   70   75
钱七   95   92   88

=== 学生总分 ===
Alice Bob Charlie 赵六 钱七
255  240  262  210  275

=== 学生平均分 ===
Alice   Bob   Charlie   赵六   钱七
85.00  80.00  87.33  70.00  91.67

=== 综合排名（按总分降序）===
  排名 姓名 总分 平均
1   1 钱七  275 91.67
2   2 Charlie  262 87.33
3   3 Alice  255 85.00
4   4 Bob  240 80.00
5   5 赵六  210 70.00

❓ 常见问题

Q byrow = TRUE 和 FALSE 区别？

A matrix(1:6, nrow=2, byrow=FALSE)（默认）按列填充：1 3 5 / 2 4 6；byrow=TRUE 按行填充：1 2 3 / 4 5 6。数据科学场景几乎都按行填（每个样本一行）。

Q apply() 和 for 循环怎么选？

A 能用 apply() 就用 apply()——R 循环慢 10-100 倍。apply(m, 1, fun) 替代"按行循环"，apply(m, 2, fun) 替代"按列循环"。

Q tapply() 在实际项目中怎么用？

A tapply(x, group, fun) 快速做"分组统计"——按性别、地区、月份等分组。但下一阶段用 dplyr::group_by() \| summarise() 更优雅，tapply 是基础。

📖 小节

矩阵是二维向量，数组是多维向量；matrix() 创建，array() 扩展到多维
byrow = TRUE 按行填充（数据科学标准），FALSE（默认）按列填充
访问方式 m[i, j] / m[i, ] / m[, j] / m["行", "列"]
rbind() 按行拼，cbind() 按列拼
apply 家族：apply() 按维度、lapply() 列表→列表、sapply() 列表→向量、tapply() 分组统计、mapply() 多参数
矩阵运算：t() 转置、%*% 矩阵乘法、solve() 逆矩阵、rowSums() colSums() 快速求和
apply 替代循环：R 循环慢 10-100 倍，能用 apply 就不写循环

📝 作业

基础题：创建一个 4×4 矩阵，元素为 1-16，按行填充，行列名分别为 c("A","B","C","D") 和 c("X","Y","Z","W")。打印矩阵，验证行列名正确。
基础题：用 apply() 计算上题矩阵的每行和、每列和、每行平均、每列最大。
基础题：用 rbind() 和 cbind() 合并两个 3×3 矩阵（自己构造），验证行列数变化。
进阶题：模拟 6 个学生 4 门课成绩：① 用 apply() 计算每个学生总分；② 用 apply() 计算每科平均分；③ 用 which.max() 找出每科最高分学生姓名；④ 用 order() 排名。
挑战题：写一段脚本，对 100 个学生 5 门课成绩做"分层次分析"：① 用 tapply() 按"性别"分组计算总平均；② 找出数学 90 分以上、英语不及格（< 60）的学生数量；③ 计算每个学生 5 门课的标准差（用 apply() + 自定义函数）。

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关于我们

R: R 矩阵与数组：二维与多维数据结构

1. 你将学到

2. 一个成绩单的故事

(1) 痛点：多科目成绩统计

(2) R 的解法

3. 矩阵的本质：二维向量

(1) 向量 → 矩阵的转换

(2) 矩阵的 4 个关键属性

4. matrix()：创建矩阵

(1) 基本语法

(2) 4 种创建方式

(3) 加行列名（更易读）

5. 访问矩阵元素

(1) 3 种访问方式

(2) 逻辑索引

6. rbind/cbind：合并矩阵

7. apply 系列函数（灵魂）

(1) 为什么需要 apply？

(2) apply() 核心

(3) apply 家族 5 个函数

(4) lapply() vs sapply()

(5) tapply() 分组统计

(6) mapply() 多参数函数

8. 数组 array：多维扩展

9. 矩阵运算（线性代数）

10. 完整示例：成绩单综合分析

▶ 示例：班级成绩综合分析

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