R: R 概率分布

Q: d/p/q/r 怎么区分？

d 密度、p 累积、q 分位、r 随机。

Q: qqnorm 图怎么看？

点靠近红线 = 正态。S 形 = 偏态，U 形 = 重尾/轻尾。

Q: 卡方分布有什么用？

① 拟合优度检验 ② 独立性检验（列联表）③ 估计方差置信区间。本课不深入，下一课假设检验会用到。

最后更新：2026-08-26

上一课我们学了"看数据"——描述统计。这一课学"看随机性"——概率分布。所有 R 统计推断（t 检验、回归、假设检验）都建立在概率分布上。这一课我们学 R 的 d/p/q/r 四大函数族 + 4 大常用分布。

读完这一课你就能用 R 模拟任何随机现象、做概率计算、为后续假设检验打基础。

1. 你将学到

概率分布 4 大函数族（d/p/q/r）
正态分布（最常用）
二项分布（成功/失败）
泊松分布（事件计数）
t 分布 / F 分布 / 卡方分布
set.seed 随机种子
实战：质量检测模拟

2. 一个质量检测的故事

(1) 痛点：产品合格率多少正常？

Alice是质检员，发现某生产线产品重量均值 100g，标准差 2g。manager问："重量 < 95g 的比例是多少？"

翻书查正态分布表？Excel 公式？R 一行——

(2) R 的解法

# 重量 < 95g 的概率
pnorm(95, mean = 100, sd = 2)
# [1] 0.00621  ← 0.6%

# 抽取 1000 个产品模拟检测
set.seed(42)
samples <- rnorm(1000, mean = 100, sd = 2)
mean(samples < 95)  # 0.6%  ← 验证

2 行代码 → 答案 + 模拟验证。

3. R 概率分布的 4 大函数族

(1) 4 大函数对比

函数前缀	含义	用途
`d`	density（密度）	概率密度 PDF
`p`	probability（概率）	累积概率 CDF
`q`	quantile（分位数）	反函数（已知概率求分位）
`r`	random（随机）	生成随机数

所有分布都有这 4 个函数：dnorm pnorm qnorm rnorm（正态）；dbinom pbinom...（二项）等。

(2) 速记口诀

graph LR
    A[d 密度] -->|求概率| B[p 累积]
    B -->|反求分位| C[q 分位]
    A -->|模拟| D[r 随机]
    
    style A fill:#cce5ff
    style B fill:#d4edda
    style C fill:#f8d7da
    style D fill:#fff3cd

(3) 4 大函数详解

# 以正态分布为例（均值 0，标准差 1）
dnorm(0)             # 0.3989  ← 概率密度
pnorm(0)             # 0.5     ← 累积概率
qnorm(0.975)         # 1.96    ← 已知 97.5% 求分位
rnorm(5)             # 5 个随机数

# 自定义参数（均值 100，标准差 2）
dnorm(95, 100, 2)    # 95 处的密度
pnorm(95, 100, 2)    # 95 左侧累积概率
qnorm(0.975, 100, 2) # 已知 97.5% 求分位
rnorm(5, 100, 2)     # 5 个均值 100 随机数

4. 正态分布（最常用）

(1) 什么是正态分布？

graph TB
    A[正态分布 N mu sigma] --> B[钟形对称]
    A --> C[68-95-99.7 法则]
    A --> D[中心极限定理]
    A --> E[广泛存在于自然/社会现象]
    
    style A fill:#fff3cd
    style B fill:#cce5ff
    style C fill:#d4edda
    style D fill:#f8d7da
    style E fill:#e1d4ff

正态分布 = 钟形、对称、自然界最常见的分布。

(2) 68-95-99.7 法则

TEXT 📖 仅展示

μ ± 1σ → 68.27% 数据
μ ± 2σ → 95.45% 数据
μ ± 3σ → 99.73% 数据

(3) 4 大正态函数

# 标准正态 N(0, 1)
dnorm(0)              # 0.3989
pnorm(1.96)           # 0.975  ← 1.96 左侧 97.5%
qnorm(0.975)          # 1.96   ← 97.5% 分位 = 1.96
rnorm(5)              # 5 个标准正态随机数

# 一般正态 N(μ, σ)
mu <- 100
sigma <- 2

# P(X < 95) = ?
pnorm(95, mean = mu, sd = sigma)  # 0.00621

# P(95 < X < 105) = ?
pnorm(105, mu, sigma) - pnorm(95, mu, sigma)  # 0.9876

# 99% 数据的范围
qnorm(0.005, mu, sigma)  # 下界
qnorm(0.995, mu, sigma)  # 上界

(4) 正态性检验

# 1. 视觉：QQ 图
qqnorm(x)
qqline(x, col = "red")

# 2. 统计检验
shapiro.test(x)       # Shapiro-Wilk（n < 5000）
# p < 0.05 表示非正态

5. 二项分布（成功/失败）

(1) 什么是二项分布？

n 次独立伯努利试验中成功次数的分布。每次成功概率 p，失败 1-p。

TEXT 📖 仅展示

例：抛 10 次硬币，正面朝上的次数 X ~ Binomial(10, 0.5)

(2) 4 大二项函数

# 抛 10 次硬币，正面次数
dbinom(5, size = 10, prob = 0.5)    # 0.246  ← P(5 次正面)
pbinom(5, size = 10, prob = 0.5)    # 0.623  ← P(≤ 5 次)
qbinom(0.5, size = 10, prob = 0.5)   # 5      ← 中位数
rbinom(1000, size = 10, prob = 0.5) # 1000 个 10 次试验的正面次数

# 例：100 发子弹，命中率 80%，至少命中 90 发的概率
1 - pbinom(89, size = 100, prob = 0.8)
# [1] 0.0227  ← 2.3%

(3) 二项可视化

n <- 10
p <- 0.5
x <- 0:n

# 概率质量函数
plot(x, dbinom(x, n, p), type = "h",
     main = paste0("Binomial(", n, ",", p, ")"),
     xlab = "成功次数", ylab = "概率",
     col = "blue", lwd = 2)
points(x, dbinom(x, n, p), pch = 19, col = "red")

6. 泊松分布（事件计数）

(1) 什么是泊松分布？

固定时间/空间内事件发生次数的分布。常用于：

1 小时内到店客户数
1 公里道路上的车祸数
1 天内接到的电话数

参数 λ = 单位时间平均事件数。

(2) 4 大泊松函数

# 例：1 小时平均到店 10 个客户
dpois(8, lambda = 10)    # P(X = 8) = 0.1126
ppois(8, lambda = 10)    # P(X ≤ 8) = 0.3328
qpois(0.5, lambda = 10)  # 中位数 = 10
rpois(100, lambda = 10)  # 100 个小时到店客户数

# 例：1 天接 5 个投诉，超过 10 个的概率
1 - ppois(10, lambda = 5)  # 0.0137  ← 1.4%

(3) 泊松与正态关系

当 λ 大时，泊松近似正态 N(λ, √λ)：

# λ = 100
lambda <- 100
# 泊松 P(90 ≤ X ≤ 110)
ppois(110, lambda) - ppois(89, lambda)  # ≈ 0.728

# 等价正态近似
pnorm(110, 100, 10) - pnorm(90, 100, 10)  # ≈ 0.683
# 近似但不完全相等

7. t 分布 / F 分布 / 卡方分布

(1) 三大抽样分布速查

分布	用途	R 函数
t 分布	小样本均值推断	`dt/pt/qt/rt`
F 分布	方差比较（ANOVA）	`df/pf/qf/rf`
卡方分布	分类变量、拟合优度	`dchisq/pchisq/qchisq/rchisq`

(2) t 分布详解

# 自由度 df = 10
qt(0.975, df = 10)   # 2.228  ← t 临界值（比正态 1.96 更大）
pt(2.228, df = 10)    # 0.975

# 当 df → ∞ 时，t 分布 → 标准正态
qt(0.975, df = 1000)  # 1.962  ← 接近 1.96
qt(0.975, df = 10000) # 1.960

💡 提示：n > 30 时 t 分布几乎等于正态，可用正态近似。n < 30 严格用 t 分布。

(3) 卡方分布

# 自由度 df = 5
dchisq(3, df = 5)   # 密度
pchisq(11.07, df = 5)  # 0.95  ← 卡方临界值（95%）
qchisq(0.95, df = 5)   # 11.07

# 例：观测 8 个事件，期望 5，p 值
1 - pchisq(8, df = 5)  # 0.846

(4) F 分布

# 自由度 df1 = 5, df2 = 10
qf(0.95, df1 = 5, df2 = 10)  # 3.326  ← F 临界值
pf(3.326, df1 = 5, df2 = 10) # 0.95

8. set.seed 随机种子

(1) 为什么需要种子？

R 的"随机数"其实是伪随机——给定种子，结果可重现：

# 不设种子
rnorm(3)  # 每次结果不同

# 设种子
set.seed(42)
rnorm(3)  # 第一次
set.seed(42)
rnorm(3)  # 完全相同

💡 提示：研究/报告中必加 set.seed()——让结果可重现。

(2) 实战用法

# 1. 模拟前设种子
set.seed(42)
sim_data <- rnorm(1000, 100, 15)

# 2. 模型训练前设种子
set.seed(123)
model <- lm(y ~ x, data)

# 3. 交叉验证前设种子
set.seed(2024)
folds <- createFolds(data$y, k = 5)

9. 抽样与模拟

(1) sample() 抽样

# 1. 简单随机抽样
sample(1:100, 10)            # 从 1-100 抽 10 个（不重复）
sample(1:100, 10, replace = TRUE)  # 放回抽样

# 2. 数据框抽样
sample_n(df, 10)              # 抽 10 行（旧）
slice_sample(df, n = 10)      # 抽 10 行（dplyr 1.0+）

# 3. 分层抽样
df |>
  group_by(class) |>
  slice_sample(n = 5)         # 每组抽 5 行

# 4. 设置概率抽样
sample(c("A", "B", "C"), 100, replace = TRUE,
       prob = c(0.5, 0.3, 0.2))

(2) 蒙特卡洛模拟

# 例：估计 π
set.seed(42)
n_sim <- 100000
x <- runif(n_sim, -1, 1)
y <- runif(n_sim, -1, 1)
inside <- sqrt(x^2 + y^2) <= 1
pi_est <- 4 * mean(inside)
# [1] 3.14116  ← 接近 π = 3.14159

10. 完整示例：质量检测模拟

下面是一个完整工作流示例，把本课所有概率分布知识串起来。

▶ 示例：生产线质量检测模拟

R 📖 仅展示

# ============================================
# 生产线质量检测模拟
# 功能：4 种分布综合应用
# ============================================

set.seed(42)

# 1. 产品重量检测（正态分布）
# 规格：均值 100g，标准差 2g
n_products <- 10000
weights <- rnorm(n_products, mean = 100, sd = 2)

cat("=== 重量检测（正态分布 N(100, 2)）===\n")
cat("样本数：", length(weights), "\n")
cat("实际均值：", round(mean(weights), 4), "\n")
cat("实际标准差：", round(sd(weights), 4), "\n")
cat("理论 < 95g 比例：", round(pnorm(95, 100, 2), 4), "\n")
cat("实际 < 95g 比例：", round(mean(weights < 95), 4), "\n")
cat("理论 < 105g 比例：", round(pnorm(105, 100, 2), 4), "\n")
cat("实际 < 105g 比例：", round(mean(weights < 105), 4), "\n\n")

# 2. 不合格品检测（二项分布）
# 抽样 100 个，至少 95 个合格的概率
n_sample <- 100
p_pass <- 0.95
prob_at_least_95 <- 1 - pbinom(94, n_sample, p_pass)
cat("=== 抽样检测（Binomial(100, 0.95)）===\n")
cat("P(95 个合格) =", round(prob_at_least_95, 4), "\n\n")

# 3. 客户到店（泊松分布）
# 1 小时平均 10 个客户
n_hours <- 1000
customers <- rpois(n_hours, lambda = 10)
cat("=== 客户到店（Poisson(10)）===\n")
cat("理论均值：10\n")
cat("实际均值：", round(mean(customers), 2), "\n")
cat("理论 P(>15)：", round(1 - ppois(15, 10), 4), "\n")
cat("实际 P(>15)：", round(mean(customers > 15), 4), "\n\n")

# 4. 抽样调查（t 分布）
# 抽 30 个产品，估计均值
sample_size <- 30
sample_data <- sample(weights, sample_size)
cat("=== 抽样调查（t 分布）===\n")
cat("样本量：", sample_size, "\n")
cat("样本均值：", round(mean(sample_data), 2), "\n")
cat("95% 置信区间：[\n")
ci <- t.test(sample_data)$conf.int
cat("  ", round(ci[1], 2), ",", round(ci[2], 2), "]\n\n")

# 5. 假设检验（用 qnorm）
# 想知道重量是否显著偏离 100g
z_score <- (mean(sample_data) - 100) / (sd(sample_data) / sqrt(sample_size))
p_value <- 2 * (1 - pnorm(abs(z_score)))
cat("=== 假设检验（Z 检验）===\n")
cat("Z 分数：", round(z_score, 4), "\n")
cat("P 值：", round(p_value, 4), "\n")
cat("结论：", ifelse(p_value < 0.05, "显著偏离 100g", "无显著差异"), "\n\n")

# 6. 异常值检测（卡方分布概念）
# 用 3σ 法则
outliers <- weights[abs(weights - 100) > 3 * 2]
cat("=== 异常值检测（3σ 法则）===\n")
cat("理论异常比例：", round(2 * pnorm(-3), 6), "（即 0.27%）\n")
cat("实际异常数：", length(outliers), "/", n_products, "\n")
cat("实际异常比例：", round(length(outliers) / n_products, 6), "\n")

# 7. 抽样设计（分层抽样）
cat("\n=== 分层抽样 ===\n")
# 模拟 3 条生产线（不同合格率）
production <- tibble::tibble(
  line = rep(c("A线", "B线", "C线"), each = 1000),
  weight = c(rnorm(1000, 100, 2),
             rnorm(1000, 101, 2),
             rnorm(1000, 99, 2))
)

# 每条线抽 50 个
library(dplyr)
sampled <- production |>
  group_by(line) |>
  slice_sample(n = 50)

cat("每线抽 50 个，估算总均值：\n")
cat("总样本均值：", round(mean(sampled$weight), 2), "\n")
cat("总真实均值：", round(mean(production$weight), 2), "\n")

逻辑代码 56 行（超过 40 行限制，仅展示）

预期输出（节选）：

TEXT 📖 仅展示

=== 重量检测（正态分布 N(100, 2)）===
样本数： 10000
实际均值： 99.9898
实际标准差： 1.9973
理论 < 95g 比例： 0.0062
实际 < 95g 比例： 0.0063

=== 抽样检测（Binomial(100, 0.95)）===
P(95 个合格) = 0.5647

❓ 常见问题

Q d/p/q/r 怎么区分？

A d 密度、p 累积、q 分位、r 随机。

Q qqnorm 图怎么看？

A 点靠近红线 = 正态。S 形 = 偏态，U 形 = 重尾/轻尾。

Q 卡方分布有什么用？

A ① 拟合优度检验 ② 独立性检验（列联表）③ 估计方差置信区间。本课不深入，下一课假设检验会用到。

📖 小节

R 概率分布 4 大函数族：d 密度 / p 累积 / q 分位 / r 随机
正态分布（最常用）：钟形对称、68-95-99.7 法则、pnorm/qnorm/rnorm
二项分布：n 次独立试验成功次数，dbinom/pbinom/qbinom/rbinom
泊松分布：单位时间事件数，dpois/ppois/qpois/rpois
t 分布：小样本均值推断（n < 30）；F 分布：方差比；卡方分布：分类数据
set.seed(42) 让随机可重现——研究报告必加
抽样：sample(x, n) 不放回 / replace = TRUE 放回
蒙特卡洛模拟 = 用 r 大量生成 + 统计 估算复杂概率

📝 作业

基础题：用 pnorm 计算 N(100, 2) 分布中，① P(X < 95) ② P(X > 105) ③ P(95 < X < 105) ④ 99% 置信区间。验证结果。
基础题：用 rbinom(1000, 10, 0.5) 模拟 1000 次"抛 10 次硬币正面次数"，计算样本的 mean、var、sd，对比理论值（5、2.5、1.58）。
基础题：用 rpois(1000, 5) 模拟 1000 个"5 分钟内接到的电话数"，画直方图 + 理论泊松 PDF，对比分布。
进阶题：模拟 10000 个产品重量（正态 N(100, 2)），用 3σ 法则识别异常值数量，与理论 0.27% 对比，验证 CLT。
挑战题：用蒙特卡洛模拟估算 π：① 投点 10000 次 ② 计算落在 1/4 圆内的比例 ③ 4× 比例 = π 估算 ④ 改变投点次数（100/1000/10000/100000）看精度变化。截图保存 4 个精度的结果。

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关于我们

R: R 概率分布

1. 你将学到

2. 一个质量检测的故事

(1) 痛点：产品合格率多少正常？

(2) R 的解法

3. R 概率分布的 4 大函数族

(1) 4 大函数对比

(2) 速记口诀

(3) 4 大函数详解

4. 正态分布（最常用）

(1) 什么是正态分布？

(2) 68-95-99.7 法则

(3) 4 大正态函数

(4) 正态性检验

5. 二项分布（成功/失败）

(1) 什么是二项分布？

(2) 4 大二项函数

(3) 二项可视化

6. 泊松分布（事件计数）

(1) 什么是泊松分布？

(2) 4 大泊松函数

(3) 泊松与正态关系

7. t 分布 / F 分布 / 卡方分布

(1) 三大抽样分布速查

(2) t 分布详解

(3) 卡方分布

(4) F 分布

8. set.seed 随机种子

(1) 为什么需要种子？

(2) 实战用法

9. 抽样与模拟

(1) sample() 抽样

(2) 蒙特卡洛模拟

10. 完整示例：质量检测模拟

▶ 示例：生产线质量检测模拟

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